ગણિત ગમ્મત

જાદુગર પ્રેક્ષકો સમક્ષ આવે છે અને ફલક પર મોટા અક્ષરે 7 લખે છે. બોર્ડ નહીં હોય તો મોટા કોરા કાગળ પર લખી શકાય. જાદુગર કહે છે, ‘દોસ્તો, તમે કોઈ પણ સંખ્યા ધારો ને પણ, મેં કહેલાં પગથિયાં અનુસરો તો છેવટે જવાબ 7 જ આવશે. તમારા મનમાં કોઈ પણ સંખ્યા ધારી લો. અને નીચેના પગથિયાં અનુસરો. આવો, શરૂઆત કરીએ.’

પગથિયાં :
[1] કોઈ પણ સંખ્યા ધારો.
[2] તે સંખ્યાને બમણી કરો.
[3] પરિણામમાં 17 ઉમેરો
[4] પરિણામમાંથી 3 બાદ કરો.
[5] પરિણામને 2 વડે ભાગો.
[6] પરિણામમાંથી ધારેલી સંખ્યા બાદ કરો.
[7] શું પરિણામ આવ્યું ? સાત જ ને ?

ઉદાહરણ:
ધારો કે સંખ્યા 23 ધારી છે. તેને બમણી કરતાં 46 થશે. તેમાં 17 ઉમેરતાં થશે 63. હવે પરિણામમાંથી 3 બાદ કરતાં 60 બનશે. તેને બે વડે ભાગતાં 30 થશે અને તેમાંથી ધારેલી સંખ્યા એટલે કે 23 બાદ કરતાં 7 જ વધશે ! આનું રહસ્ય શું ? ચાલો, એ જોઈએ. ધારો કે આપણે x સંખ્યા ધારી છે અને હવે ઉપરના પગથિયાં અનુસરીએ છીએ. તો પરિણામ કંઈક આ પ્રમાણે થશે.
ધારેલી સંખ્યા : x
2 X x = 2x
2x+17
2x+17 – 3 = 2x + 14
(2x+14) / 2 = x + 7
x + 7 – x = 7

[2] રૂપિયા-પૈસાનો અનોખો પ્રયોગ

જાદુગર ઓડિયન્સને કહે છે : ‘આજે આપણે રૂપિયા-પૈસાનો જાદુ કરીએ. જાદુમાં આપણામાંથી 4-5 પ્રેક્ષકમિત્રો ભાગ લે તો સારું.’ ભાગ લેવા તત્પર હોય તે દરેકને જાદુગર એક-એક કાગળ ગણતરી કરવા આપે છે. જાદુગર પોતાની પાસેના એક કાગળ પર કંઈ લખીને બધાની સમક્ષ ટેબલ પર મૂકે છે. ભાગ લેનાર દરેક પ્રેક્ષકને રૂ. 100 કરતાં નાની રકમ ધારવાનું કહે છે. શરત એટલી કે પ્રેક્ષક રૂપિયા અને પૈસા ધારે તો રૂપિયાની સંખ્યા પૈસાની સંખ્યા કરતાં વધારે હોય તેમ ધારવાનું. દરેક પ્રેક્ષકને જાદુગરથી છૂપી રીતે આ રકમ ધારીને પોતાના કાગળ પર લખી દેવા જાદુગર સૂચના આપે છે. હવે પ્રેક્ષકોએ જે પગથિયાં અનુસરવાનાં છે તે નીચે જણાવ્યાં છે. પ્રેક્ષકોને યોગ્ય માર્ગદર્શન મળી રહે તે માટે જાદુગર નમૂનારૂપ પોતાનું ઉદાહરણ લઈ ગણતરી બતાવે છે. પ્રેક્ષક પૂરેપૂરી વિગત લખી તેની સામે યોગ્ય ગણતરી બતાવતા જાય એવી સૂચના જાદુગર આપે છે.

પગથિયાં :

[1] જાદુગરે ધારેલી રકમ રૂ. 56.40 છે. પ્રેક્ષકો પણ પોતે ધારેલી રકમ લખે છે.
[2] ધારેલ રકમમાં જેટલા રૂપિયા છે તેટલા પૈસા ગણો અને જેટલા પૈસા છે તેટલા રૂપિયા ગણો. રૂપિયા-પૈસાને ઊલટ-સૂલટ કરો અને રકમ લખો. એટલે થશે : રૂ. 40.56
[3] ધારેલી રકમનાંથી ઊલટ-સૂલટ કરીને મેળવેલી રકમ બાદ કરો : એટલે કે (રૂ. 56.40 – રૂ. 40.56) = રૂ. 15.84
[4] ઉપરના પરિણામમાં મળેલી રકમ રૂ. 15.84ને પણ ઊલટ-સૂલટ કરીને નવી રકમ મેળવો અને તે લખો : રૂ. 84.15
[5] પરિણામ (3) અને પરિણામ (4) નો સરવાળો કરો. એટલે કે : (રૂ. 15.84 + રૂ. 84.15) = રૂ. 99.99
[6] શું પરિણામ આવ્યું ? જાદુગરનું રૂ. 99.99 અને બધા પ્રેક્ષકોનું પણ રૂ. 99.99

નોંધ : ધારવાની રકમમાં પૈસાની સંખ્યા કરતાં રૂપિયાની સંખ્યા વધુ ધારવાનું કહ્યું છે તેનું કારણ સમજાયું ? વિચારો. બીજી એક વાત ધ્યાનમાં રાખવાનું જરૂરી છે. ધારેલી રકમમાં રૂપિયા અને પૈસાની સંખ્યા સરખી ન હોય તે જોવું જરૂરી છે.

[3] 1 થી 9 સુધીની કોઈ બે સંખ્યા ધારો. અને હું તે કહી આપીશ.

જાદુગર કહે છે એક સંખ્યા ધારી હોય અને તે કહેવાની હોય તો તો સરળતાથી શોધી શકાય. પણ 1 થી 9 સુધીની બે સંખ્યા ધારેલી હોય અને શોધવાની હોય એ જરા કપરું, ખરું ને ? પણ જાદુગર માટે કોઈ વસ્તુ અઘરી નથી હોતી. તમે 1 થી 9 સુધીની બે સંખ્યા ધારો અને હું કહું તેમ કરો. અને હું તમને તમારી ધારેલી સંખ્યાઓ કહી આપીશ. આપેલાં પગથિયાં સમજવાનાં સરળ પડે તે માટે હું બે સંખ્યા ધારીને ઉદાહરણ રજૂ કરું છું. તમે સંખ્યા ધારો તો કાગળ લો અને તેમાં એ જ પ્રમાણે પગથિયાં માંડો. ઉદાહરણ તરીકે મારી ધારેલી સંખ્યા 3 અને 7 છે.

પગથિયાં :

[1] કોઈ પણ ધારેલી બે સંખ્યામાંથી પ્રથમ સંખ્યાના બમણા કરો. (3 X 2 = 6 )
[2] પરિણામમાં 5 ઉમેરો. (6 + 5 = 11)
[3] પરિણામ (2)ને 5 વડે ગુણો. (11 X 5 = 55 )
[4] પરિણામ (3)માં બીજી સંખ્યા ઉમેરો. (55+7=62)
[5] આવેલા પરિણામ (4)માંથી 25 બાદ કરો. (62-25 = 37)
[6] આવેલા પરિણામ (5)માં 10 ઉમેરો. (37+10=47)
[7] શું જવાબ આવ્યો ? 47. તો ધારેલી સંખ્યા : 3, 7 છે.

નોંધ : જાદુગર આવેલા પરિણામમાંથી 10 બાદ કરે છે અને જે સંખ્યા મળે છે તેના અંકો જ ધારેલી સંખ્યા છે. દા.ત, જાદુગરે મેળવેલું પરિણામ 47 છે. તેમાંથી 10 બાદ કરતાં 47-10 = 37 આવે છે તેથી ધારેલી પ્રથમ સંખ્યા 3 અને બીજી સંખ્યા 7 છે. આમ તો ઉત્તર (5)મા પગથિયે જ આવી જાય છે. (6) અને (7) પગથિયાં તો જાદુગર પોતાની અગત્યતા વધારવા માટે કસરત કરાવે છે ! આ પગથિયાં દ્વારા પ્રથમ સંખ્યાને દશકના સ્થાનમાં ગોઠવીએ છીએ અને બીજી સંખ્યાને એકમના સ્થાનમાં, ખરું ને ? આવું કેમ થાય છે એનું રહસ્ય શોધો. સંખ્યા માટે x અને y ધારીને આગળ વધો.

[4] ગણતરીબાજ સુકેતુ

રાજાનો દરબાર ભરાયો છે. તેમાં સુકેતુ નામનો વિદ્વાન અને બુદ્ધિમાન નાગરિક હાજર હતો. રાજાએ સુકેતુને કહ્યું : ‘કંઈ એવી વાત કરો કે બધાને અને ખાસ કરીને મને આશ્ચર્ય થાય.’ સુકેતુએ કહ્યું : ‘રાજન, દેખીતી રીતે સરળ અને લાભદાયી લાગતી રમત પાછળથી મોંઘી પડે છે. આજે તમારી સંમતિ હોય તો એવી એક રમત શરૂ કરીએ.
‘સારું, કહો શું છે એ રમત ?’ રાજાએ કહ્યું.
‘જુઓ રાજન, તમને હું રોજ 1001 રૂપિયા આપીશ, તમારે મને પહેલે દિવસે 1 રૂપિયો આપવાનો. બીજે દિવસે તેના બમણા એટલે કે બે, અને ત્રીજે દિવસે તેના બમણા એટલે કે ચાર…. એમ એક માસ સુધી જ આપણે આપ-લે કરીશું. એક માસથી વધુ શરત ચાલે તો કદાચ આપે રાજપાટ છોડવાનો વારો આવશે !’ રાજા આશ્ચર્ય પામ્યા અને ખુશ પણ થઈ ગયા. રોજ 1001 રૂપિયા મળે, ને આપવાના તો 1,2,4,8 વગેરે જ !
‘મંજૂર છે.’ રાજાએ કહ્યું, ‘આજથી જ શરૂ.’

સુકેતુએ તરત જ રૂ. 1001 આપી દીધા. રાજાએ તરત જ તેમાંથી રૂપિયો કાઢી આપી દીધો. ‘ખરો, મૂરખ લાગે છે. આપણે શું ?’ રાજાએ મનમાં ને મનમાં વિચાર્યું. આ જ રીતે બીજે દિવસે પણ સુકેતુએ આપેલ રૂ. 1001માંથી બે રૂપિયા કાઢી ગણી આપ્યા. આમ-ત્રણ, ચાર, પાંચ, છ, સાત દિવસો ચાલ્યા જ કર્યું. રાજા તો ખુશખુશાલ રહે અને સુકેતુ પણ ખુશ રહે. તેને જોઈને રાજા આશ્ચર્ય અનુભવે. પછી આવ્યો 11મો દિવસ અને રાજાને જરા ખૂંચ્યું. તે દિવસે તેમણે રૂ. 1001 લેવાના હતા અને 1024 આપવાના હતા. પણ તેમણે તો વિચાર્યું કે, ‘મને તો અગિયાર દિવસના રૂ. 11011 મળ્યા છે ને ! કંઈ વાંધો નહિ.’

પણ હવે રાજાની પનોતી બેસી ચૂકી હતી. ગણતરી આ પ્રમાણે ચાલતી હતી.
12મે દિવસે રૂ. 2048
13મે દિવસે રૂ. 4096
14મે દિવસે રૂ. 8192
15મે દિવસે રૂ. 16,384
16મે દિવસે રૂ. 32,768
17મે દિવસે રૂ. 65,536
18મે દિવસે રૂ. 1,31,072
19મે દિવસે રૂ. 2,62,144
20મે દિવસે રૂ. 5,24,288 વગેરે…

ત્રીસ દિવસ સુધી રાજા થોભ્યા નહિ અને 20મે દિવસે જ સુકેતુને દરબારમાં બોલાવી સન્માન કર્યું. આવા ગણતરીબાજ ગણિતશાસ્ત્રી એ રાજ્યની શોભા છે એમ કહી પોતાના દરબારનાં નવરત્નોમાં તેને સ્થાન આપ્યું. અને તેના બધા જ રૂપિયા પરત કર્યા, એટલું જ નહિ પણ વચન પ્રમાણે એક માસ સુધી રકમ આપવાની થઈ તે પણ આપી. જોયું, વાસ્તવિક ગણતરીએ કેવું જાદુ કર્યું ? એ તદ્દન મામૂલી લાગતી રકમ ટૂંકા ગાળામાં કેટલી ભવ્ય બની શકે છે ! ગણિતનો જ જાદુ કહીશું કે બીજું કંઈ ?!

[5] એક મજાની રમત

એક મજાની રમત છે. તમે તમારા મિત્ર સાથે એવી શરત મારો કે તમે તેને પાંચ સવાલ પૂછશો અને તે બધાના ખોટા જ જવાબ આપવાના. એક પણ સવાલનો જવાબ સાચો આપ્યો તો રૂ. 10 હારી જાય અને નહિ તો રૂ. 10 તમારે તેને આપવાના.
‘આ તો તદ્દન સહેલું છે. આવી જા, પૂછવા માંડ સવાલ !’ તમારો મિત્ર કહેશે.

તમે પહેલો સવાલ પૂછો છો : ‘નેપોલિયનનો જન્મ કઈ સાલમાં થયો હતો ?’
‘1985માં’ મિત્ર જાણીજોઈને ખોટો જવાબ આપશે. તમે તરત બીજો સવાલ પૂછો.
‘પાંચમાં સાત ઉમેરતાં શું જવાબ આવે ?’
‘ચાર સો પાંત્રીસ.’ તમારો મિત્ર જવાબ આપે છે.
ત્રીજો સવાલ : ‘મુંબઈ ક્યા દેશમાં આવ્યું ?’
‘ઈંગ્લેન્ડમાં !’ જવાબ મળે છે.
પછી જરા વિચાર કરતા હો તેમ તમે કહો છો : ‘હં, આપણે તો પાંચ સવાલની શરત છે. કેટલા સવાલ થયા ?’
‘ત્રણ સવાલ પૂરા થયા.’ પેલો મિત્ર સ્વાભાવિકપણે બોલી દેશે.
‘કેમ મારા ચોથા સવાલનો જવાબ સાચો આપી બેઠા ને !? લાવો દસ રૂપિયા !’

તમારો મિત્ર આશ્ચર્ય પામશે. તે તમને તમારી ચાલાકી અને ચપળતા બદલ જરૂર શાબાશી આપશે !

[6] કોયડા ઉકેલો

[અ] પ્રિતેશ એક દુકાનમાંથી એક શર્ટ અને એક ટાઈ ખરીદે છે. શર્ટની કિંમત ટાઈ કરતાં રૂ. 100 જેટલી વધુ છે. પ્રિતેશ આ બન્નેનું ભેગું બિલ રૂ. 150 ચૂકવે છે. દરેકની કિંમત શોધો.

[બ] એક ડબ્બામાં લોટ છે. ડબ્બા સાથે લોટનું વજન 19 કિલોગ્રામ છે. તેમાંથી ત્રીજા ભાગનો લોટ કાઢી લેતાં બાકીના લોટ અને ડબ્બાનું વજન 14 કિલોગ્રામ થાય છે. તો તે ડબ્બામાં કેટલો લોટ માતો હશે ? ડબ્બાનું વજન કેટલું થાય ?